Veremos três maneiras de multiplicar os vetores. Primeiro, veremos a multiplicação escalar de vetores. Então, veremos como multiplicar dois vetores. Aprenderemos duas maneiras diferentes de multiplicar vetores, usando o produto escalar e o produto vetorial.

Como multiplicar vetores por um escalar

Quando você multiplica um vetor por um escalar, cada componente do vetor é multiplicado pelo escalar.

Suponha que temos um vetor

, que deve ser multiplicado pelo escalar

. Então, o produto entre o vetor e o escalar é escrito como

. Se

, então a multiplicação aumentaria o comprimento de

por um fator

. Se

, então, além de aumentar a magnitude do

por um fator

, a direção do vetor também seria invertida.

Com relação aos componentes do vetor, cada componente é multiplicado pelo escalar. Por exemplo, se um vetor

, então

.

Exemplo

O vetor momentum

de um objeto é dado por

, Onde

é a massa do objeto e

é o vetor velocidade. Para um objeto com massa de 2 kg e velocidade de

em^-1, encontre o vetor de momentum.

O momentum é

kg m s^-1.

Como Encontrar o Produto Escalar de Dois Vetores

o produto escalar (também conhecido como o produto escalar) entre dois vetores

e

é escrito como

. Isso é definido como,

Onde

é o ângulo entre os dois vetores se eles forem colocados cauda a cauda, ​​conforme mostrado abaixo:

O produto escalar entre dois vetores produz uma quantidade escalar. Geometricamente, esta quantidade é igual ao produto da magnitude da projeção de um vetor no outro e a magnitude do "outro" vetor:

Usando as componentes dos vetores ao longo do plano cartesiano, podemos obter o produto escalar da seguinte maneira. Se o vetor

e

, então o produto escalar

Exemplo

Vetor

e

. Achar

.

Exemplo

O trabalho feito

por uma força

, quando causa um deslocamento

pois um objeto é dado por,

. Suponha uma força de

N faz com que um corpo se mova, cujo deslocamento sob a força é é

m. Encontre o trabalho realizado pela força.

J.

Exemplo

Encontre o ângulo entre os dois vetores

e

.

A partir da definição do produto escalar,

. Aqui temos

e

.

Então,

.

Se dois vetores são perpendiculares entre si, então o ângulo

entre eles é 90^o. Nesse caso,

e assim o produto escalar torna-se 0. Em particular, para vetores unitários no sistema de coordenadas cartesianas, notamos que,

Para vetores paralelos, o ângulo

entre eles é 0^o. Nesse caso,

e o produto escalar simplesmente se torna o produto das magnitudes dos vetores. Em particular,

O produto escalar é comutativo. ou seja,

.

O produto escalar também é distributivo. ou seja,

.

Como Encontrar o Produto Cruzado de Dois Vetores

o produto cruzado (também conhecido como o produto vetorial) entre dois vetores

e

é escrito como

. Isso é definido como,

O produto vetorial ou produto vetorial, ao contrário do produto escalar, fornece um vetor como resposta. A fórmula acima fornece a magnitude do vetor. Para obter a direção desse vetor, imagine girar uma chave de fenda da direção do primeiro vetor em direção à direção do segundo vetor. A direção em que a chave de fenda “entra” é a direção do produto vetorial.

Por exemplo, no diagrama acima, o produto vetorial é

apontará para a página, enquanto

vai apontar para fora da página.

Claramente, então, o produto vetorial não é comutativo. Em vez,

.

O produto vetorial entre dois vetores paralelos é 0. Isso ocorre porque o ângulo

entre eles é 0⁰, Fazendo o

.

Com relação aos vetores unitários, temos então

Além disso, nós temos

Com relação aos componentes, o produto vetorial é dado por,

Exemplo

Encontre o produto vetorial entre vetores

e

.

.