Projéteis são movimentos envolvendo duas dimensões. Para resolver problemas de movimento de projéteis, tome duas direções perpendiculares entre si (normalmente, usamos as direções "horizontal" e "vertical") e escrevemos todas as quantidades vetoriais (deslocamentos, velocidades, acelerações) como componentes ao longo de cada uma dessas direções. Em projéteis, o movimento vertical é independente do movimento horizontal. Portanto, as equações de movimento podem ser aplicadas a movimentos horizontais e verticais separadamente.

Para resolver problemas de movimento de projéteis para situações em que objetos são lançados na Terra, a aceleração da gravidade,

, está sempre agindo verticalmente para baixo. Se negligenciarmos os efeitos da resistência do ar, então a aceleração horizontal é 0. Nesse caso, o componente horizontal da velocidade do projétil permanece inalterado.

Quando um projétil lançado em um ângulo atinge a altura máxima, seu componente vertical de velocidade é 0 e quando o projétil atinge o mesmo nível de onde foi lançado, seu deslocamento vertical é 0.

No diagrama acima, mostrei algumas quantidades típicas que você deve saber para resolver problemas de movimento de projéteis.

é a velocidade inicial e

, é a velocidade final. Os subscritos

e

referem-se aos componentes horizontal e vertical dessas velocidades, separadamente.

Ao fazer os cálculos a seguir, consideramos a direção para cima como positiva na direção vertical e, horizontalmente, consideramos os vetores à direita como positivos.

Vamos considerar o deslocamento vertical da partícula com o tempo. A velocidade vertical inicial é

. Em um determinado momento, o deslocamento vertical

, É dado por

. Se quisermos desenhar um gráfico de

vs.

, descobrimos que o gráfico é uma parábola porque

tem uma dependência de

. ou seja, o caminho percorrido pelo objeto é parabólico.

A rigor, devido à resistência do ar, o caminho não é parabólico. Em vez disso, a forma se torna mais “achatada”, com a partícula obtendo um alcance menor.

Inicialmente, a velocidade vertical do objeto está diminuindo, pois a Terra está tentando atraí-lo para baixo. Eventualmente, a velocidade vertical chega a 0. O objeto agora atingiu a altura máxima. Então, o objeto começa a se mover para baixo, sua velocidade para baixo aumentando à medida que o objeto é acelerado para baixo pela gravidade.

Para um objeto lançado do solo em velocidade

, vamos tentar encontrar o tempo que leva para o objeto chegar ao topo. Para fazer isso, vamos considerar o movimento da bola desde quando foi lançado até quando atinge a altura máxima.

O componente vertical da velocidade inicial é

. Quando o objeto atinge o topo, a velocidade vertical do objeto é 0. ou seja,

. De acordo com a equação

, o tempo necessário para chegar ao topo =

.

Se não houver resistência do ar, então temos uma situação simétrica, onde o tempo que o objeto leva para atingir o solo de sua altura máxima é igual ao tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima do solo em primeiro lugar. o tempo total que o objeto passa no ar é então,

.

Se considerarmos o movimento horizontal do objeto, podemos encontrar o objeto faixa. Esta é a distância total percorrida pelo objeto antes de pousar no solo. Horizontalmente,

torna-se

(porque a aceleração horizontal é 0). Substituindo por

, temos:

.

Exemplo 1

Uma pessoa de pé no topo de um prédio de 30 m de altura arremessa uma pedra horizontalmente da borda do prédio na velocidade de 15 m s^-1. Achar

a) o tempo que o objeto leva para chegar ao solo,

b) a que distância do prédio está, e

c) a velocidade do objeto ao atingir o solo.

A velocidade horizontal do objeto não muda, então isso não é útil por si só para calcular o tempo. Conhecemos o deslocamento vertical do objeto do topo do edifício até o solo. Se pudermos encontrar o tempo que o objeto leva para chegar ao solo, podemos descobrir quanto o objeto deve se mover horizontalmente durante esse tempo.

Então, vamos começar com o movimento vertical desde o momento em que foi lançado até o momento em que atinge o solo. O objeto é lançado horizontalmente, então a velocidade vertical inicial do objeto é 0. O objeto experimentaria uma aceleração vertical constante para baixo, então

em^-2. O deslocamento vertical do objeto é

m. Agora usamos

, com

. Então,

.

Para resolver a parte b), usamos o movimento horizontal. Aqui temos

15 m s^-1,

6,12 s, e

0. Como a aceleração horizontal é 0, a equação

torna-se

ou,

. É o quanto mais longe do edifício o objeto pousaria.

Para resolver a parte c), precisamos saber as velocidades verticais e horizontais finais. Já sabemos a velocidade horizontal final,

em^-1. Precisamos considerar novamente o movimento vertical para saber a velocidade vertical final do objeto,

. Nós sabemos isso

,

-30 me

em^-2. Agora usamos

, dando-nos

. Então,

. Agora temos os componentes horizontal e vertical da velocidade final. A velocidade final é, então,

em^-1.

Exemplo 2

Uma bola de futebol é lançada do chão a uma velocidade de 25 m s^-1, com um ângulo de 20^o para o chão. Supondo que não haja resistência do ar, descubra a que distância a bola pousará.

Desta vez, temos um componente vertical para a velocidade inicial também. Isto é,

em^-1. A velocidade horizontal inicial é

em^-1.

Quando a bola cai, ela volta ao mesmo nível vertical. Então podemos usar

, com

. Isso nos dá

. Resolvendo a equação quadrática, temos um tempo de

0 s ou 1,74 s. Uma vez que estamos procurando a hora em que a bola pousa, pegamos

1,74 s.

Horizontalmente, não há aceleração. Portanto, podemos substituir o tempo de queda da bola na equação horizontal de movimento:

m. Este é o quão longe a bola vai cair.