Centro de Massa - Definição

O ponto em que toda a massa de um corpo ou sistema pode ser considerada concentrada é conhecido como centro de massa. Em outras palavras, é o ponto onde a massa total do corpo ou do sistema tem o mesmo efeito quando concentrada em uma massa pontual.

Calculando Centro de Massa

Um corpo rígido tem uma distribuição de massa contínua. Um sistema de massas pode ter distribuição de massa contínua ou discreta. Para entender melhor o conceito, vamos considerar um sistema de duas massas pontuais m₁ e m₂ posicionado em (x₁, y₁) e (x₂, y₂).

O centro de massa do sistema será dado pelas coordenadas (x_CM, y_CM) obtido pela seguinte fórmula.

Se as coordenadas z também forem fornecidas, as coordenadas z do centro de massa podem ser obtidas pelo mesmo método. O centro de massa divide internamente a distância entre os dois pontos e a distância de CM a cada massa (r) é inversamente proporcional à massa (m). ou seja, r∝1 / m. Portanto, a seguinte relação vale para quaisquer sistemas de massa de dois pontos. r₁/ r₂ = m₂/ m₁. O resultado para massas de dois pontos pode ser estendido a muitos sistemas de partículas da seguinte maneira. Se as coordenadas da partícula m_eu são dados por (x_eu, y_eu), então as coordenadas do centro de massa do sistema de muitas partículas são dadas por,

Uma distribuição de massa contínua pode ser aproximada como uma coleção de massas infinitesimais. Portanto, tomar os casos limites dos resultados acima fornece as coordenadas do centro de massa.

Se o objeto tem distribuição de massa uniforme (densidade uniforme) e objeto geométrico regular, o centro de massa fica no centro geométrico do objeto. Também deve ser notado que, centro de massa (CM) e centro de gravidade (CG) são usados ​​como sinônimos na maioria das situações. No entanto, são diferentes e coincidem apenas quando o campo gravitacional que atua sobre o corpo ou sistema é uniforme. Caso contrário, o centro de massa e o centro de gravidade são separados.

Isso é verdade para todos os objetos no campo gravitacional da Terra. No entanto, a diferença nas localizações do centro de massa e do centro de gravidade é muito pequena para objetos pequenos, mas para objetos grandes, especialmente objetos altos, como um foguete em sua plataforma de lançamento, há uma separação significativa entre o centro de massa e centro de gravidade.

Como Encontrar o Centro de Massa - Exemplo

Centro de Massa Exemplo 01. As massas m, 3m, 4m e 6m estão localizadas nas coordenadas (2, -6), (4, 0), (-1, 3) e (-4, -4), respectivamente. Encontre o centro de massa do sistema.

Centro de Massa Exemplo 02. A lua orbita a 385000 km de distância do centro da Terra. Se a massa da lua for 7,3477 × 10²² kg ou 0,012300 da massa da Terra, encontre a distância ao centro de massa da Terra e do sistema lunar, a partir do centro da Terra.

Da relação r₁/ r₂ = m₂/ m₁ podemos derivar esse r_terra/ r_lua = m_lua/ m_terra. Uma vez que a órbita da lua é 385000 km e considerando as relações disponíveis, a distância do centro de massa do centro da Terra é

r_terra/ (r_lua+ r_terra) × 385000 km = m_lua/ (m_terra+ m_lua) × 385000 km.

Substituir valores e simplificar dá 0,012300 / (1 + 0,012300) × 385000 km = 4677,96 km (aqui a massa da lua é tomada como uma fração da massa da Terra, ou seja, m_lua/ m_terra =.0123)

A separação é significativa (1,25% da órbita da lua) porque a lua tem uma massa considerável, mas para objetos menores, como um carro, a proporção m_carro/ m_terra é zero para todos os cálculos práticos.